Пошук по сайту


Методичні вказівки до самостійного вивчення теми застосування визначеного інтеграла римана за курсом «математичний аналіз»

Методичні вказівки до самостійного вивчення теми застосування визначеного інтеграла римана за курсом «математичний аналіз»

Сторінка1/5
  1   2   3   4   5
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ОДЕСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

ДО САМОСТІЙНОГО ВИВЧЕННЯ ТЕМИ

ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА РИМАНА

ЗА КУРСОМ «МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ»

Одеса ОНПУ 2010

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ОДЕСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
Затверджено

на засіданні кафедри ІММЗІС

протокол № 3 від 20 жовтня 2009 р.

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

ДЛЯ САМОСТІЙНОГО ВИВЧЕННЯ ТЕМИ «ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА РИМАНА»

ЗА КУРСОМ «МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ»

для студентів спеціальностей 6.040302 — Інформатика, 6.040301 — Прикладна математика

Одеса ОНПУ 2010

Методичні вказівки для самостійного вивчення теми «Застосування визначеного інтеграла Римана» за курсом «Математичний аналіз» для студентів спеціальностей 6.040302 — Інформатика, 6.040301 — Прикладна математика. / Укл. А.А. Кобозєва. — Одеса: ОНПУ, 2010. — 38 с.


Укладач: А.А. Кобозєва,

д.т.н.,доцент

ЗМІСТ

  1. Схема застосування визначеного інтеграла........................................................................4

  2. Аналітичне представлення кривих.......................................................................................6

    1. Криві на площині в прямокутних координатах................................................6

    2. Криві на площині в полярних координатах.....................................................10

  3. Довжина кривої....................................................................................................................12

  4. Обчислення довжини кривої за допомогою інтеграла Римана........................................13

  5. Визначення поняття площі. Властивості площі................................................................18

  6. Вираз площі плоскої фігури інтегралом Римана..............................................................19

  7. Визначення поняття об’єма, його властивості..................................................................29

  8. Вираз об’єма тіла інтегралом Римана................................................................................30

  9. Площа поверхні обертання.................................................................................................33

  10. Моменти. Центри ваги.........................................................................................................35

Література...............................................................................................................................................38


  1. Схема застосування визначеного інтеграла


Перш, ніж перейти до безпосередніх застосувань визначеного інтеграла, необхідно усвідомити той шлях, по якому у прикладних питаннях зазвичай приходять до визначеного інтеграла.

Нехай потрібно визначити деяку постійну величину (геометричну чи іншу), яка пов’язана з проміжком . При цьому нехай кожному частковому проміжку , який міститься в , відповідає деяка частина величини так, що розкладання на часткові сегменти спричиняє розкладання на відповідні частини й величини . Точніше кажучи, мова йде про деяку «функцію від проміжку» , яка задовольняє «властивості аддитивності»: якщо проміжок складається із частин і , то тоді і
=+.
Задача ж полягає в обчисленні значення функції, що відповідає всьому проміжку .

Розглянемо «елемент» величини , який відповідає «елементарному проміжку» . Виходячи з умов питання, намагаються знайти для наближений вираз виду
,
лінійний відносно , так щоб він відрізнявся від хіба що на нескінченно малу, порядку вищого за . Зрозуміло, що тоді похибка наближеної рівності
(1.1)
буде прямувати до нуля разом з .

Тепер можна затверджувати, що шукана величина виражається інтегралом
. (1.2)
Для пояснення цього розкладемо сегмент на часткові сегменти:
, , ... , , ... , .
Оскільки кожному проміжку чи відповідає певна частина величини , яка приблизно дорівнює , то вся шукана величина приблизно виразиться сумою
.
Ступінь точності отриманого значення буде тим вище, чим менше часткові проміжки, тому очевидно буде границею суми , тобто дійсно виразиться визначеним інтегралом .

Таким чином, усе зводиться до встановлення наближеної рівності (1.1), з якої безпосередньо виходить остаточний результат (1.2).

Звичайно замість і пишуть і , а рівність (1.1) для «елемента» величини записують у формі
, (1.3)
потім «підсумовують» ці «елементи» ( насправді, беручи інтеграл), що й приводить до формули (1.2) для всієї величини .

Необхідно відзначити, що використання тут інтеграла замість звичайної суми дуже суттєво. Сума дає лише наближене значення , тому що на ній відбиваються похибки окремих рівностей типу (1.3), граничний же перехід, за допомогою якого із суми виходить інтеграл, знищує похибку і приводить до точного результату. Отже, спочатку з метою простоти, у виразі елемента відкидаються нескінченно малі вищих порядків, а потім, з метою покращення точності, підсумовування замінюється інтегруванням, і одержуваний результат виявляється точним.



  1. Аналітичне представлення кривих




    1. Криві на площині (в прямокутних координатах)


Нехай розглядається прямокутна система координат ХОУ. Явним завданням кривої називається її завдання за допомогою рівняння вида
чи , (2.1)
коли одна з поточних координат її точки представляється у вигляді однозначної явної функції від іншої координати. Таке представлення є простим і наочним.

Крива може бути визначеною за допомогою рівняння
, (2.2)
не розв’язаним ні відносно , ні відносно . Рівняння (2.2) — це неявне рівняння кривої, воно визначає неявне завдання кривої.

Залежність від — координат перемінної точки кривої на площині ХОУ — може бути не визначена безпосередньо, а замість цього задана залежність обох змінних від деякої третьої, допоміжної змінної , яка називається параметром:
. (2.3)
Рівняння (2.3) називаються параметричними рівняннями. Коли пробігає всі значення з множини , координати точки змінюються, і рухається по площині. Образ шляху на площині ХОУ і буде крива. Але таке визначення кривої треба уточнити, оскільки відомі такі функції і множини , що коли пробігає всю множину , множина точок заповнює, наприклад, деякий прямокутник.
Визначення. Множина точок , де і задовольняють (2.3), називається простою кривою, якщо різним значенням параметру відповідають різні точки , тобто якщо , то .
Розглянемо декілька прикладів кривих, які часто зустрічаються.
Приклад 1. Коло. Неявне рівняння кола з центром у точці О і радіусом (рис.1):



. (2.4)
З цього рівняння отримаємо, що: . Сума квадратів величин дорівнює одиниці, тому природно прийняти їх відповідно за косінус і сінус деякого кута . Це приведе до параметричних рівнянь кола:
. (2.5)
Це проста крива, але якщо б , то визначена крива простою б вже не була — це було б коло, проведене двічі.
Визначення. Множина точок , називається розбивкою множини , якщо
.
Визначення. Кажуть, що крива задана параметрично рівняннями (2.3), якщо існує така розбивка множини на , що на кожному з цих сегментів крива є простою кривою.
Таким чином (2.5) є параметричним завданням кола.

Якщо множина в (2.5), зрозуміло, що можна розбити на і , на кожному з яких крива буде простою, тому

також є параметричним завданням кола.
З явного завдання будь-якої кривої
(2.6)
легко отримати її параметричне завдання:

.
(2.7)

Приклад 2. Ланцюгова лінія. Явне рівняння цієї кривої (рис.2):



.
По такій лінії встановлюється в рівновазі гнучка й нерозтяжна важка нитка (ланцюг, провід й т.п.), підвішена за обидва кінця.

Форма кривої поблизу вершини нагадує параболу, але при віддаленні від вершини крива крутіше (швидше) прямує в нескінченність. Відрізок , довжина якого дорівнює , визначає точніше її форму — чим менше, тим крива крутіше. Розташування кривої, яке зображено на рис.2, необов'язкове, але воно дозволяє надати рівнянню кривої найбільш простий вид.
Приклад 3. Эллипс. Неявне рівняння еліпса з півосями і (рис.3):
.
Оскільки сума квадратів величин повинна дорівнювати 1, природно прийняти їх відповідно за косінус і сінус деякого кута . Це приведе до параметричного представлення еліпса
.
При зміні від 0 до еліпс описується проти годинникової стрілки, починаючи від точки (рис.3).
Приклад 4. Напівкубічна парабола. Неявне рівняння цієї кривої (рис.4):



.
Якщо рівняння розв’язати відносно , то одержимо явні рівняння двох симетричних віток кривої:
.

Приклад 5. Астроїда. Неявне рівняння астроїди (рис.5):
.
Крива лежить у колі и симетрична відносно обох осей.

Для одержання параметричного завдання астроїди скористаємося тим, що в силу рівняння кривої сума квадратів виразів дорівнює 1. Поклавши їх рівними і , прийдемо до параметричного завдання астроїди:
.
Приклад 6. Декартів листок. Неявне рівняння кривої (рис.6):
.
Крива має асимптоту як при , так і при .

Уводячи в якості параметра відношення і підставляючи в рівняння кривої , одержимо параметричне представлення декартова листка:
.

Приклад 7. Циклоїда. Нехай по осі ОХ котиться без ковзання коло радіуса з центром в точці . Крива, яка описується при цьому будь-якою точкою кола (рис.7), називається циклоїдою. Параметричне завдання циклоїди:



Рис.7.

Приклад 8. Евольвента. Представимо, що на коло, описане із центру О радіусом , навернена за годинниковою стрілкою нитка. Нехай кінець нитки знаходиться в точці . Будемо розмотувати нитку проти годинникової стрілки, увесь час натягаючи її за кінець. Крива, описувана при цьому кінцем нитки, називається евольвентою кола (рис.8) й представляється параметрично в такий спосіб:



  1   2   3   4   5

поділитися в соціальних мережах



Схожі:

Методичні вказівки до вивчення програми графічного редактора
Куклич л. І. – голова методичної комісії, викладач спец дисциплін вищої категорії, старший викладач

Оо writer. Створення документа
Методічні вказівки до лабораторних робіт за темою «текстовий редактор» за курсом «Інформаційні системи та технології». / Укл. Л....

Тема. Розв'язування задач. Узагальнення теми подібність трикутників. Мета
Мета: узагальнити, систематизувати знання учнів про зміст та схе­ми застосування означення та ознак подібності трикутників. Відпрацю­вати...

Конспект лекцій за курсом «інформатика та комп’ютерна техніка»
Конспект лекцій за курсом «інформатика та комп’ютерна техніка» / Укладачі: Борисенко І.І., Граб В. А., Лебедєва О. Ю., Абросімов...

2009 Чопик О. Л. Математичний калейдоскоп
В посібнику подані цікаві нестандартні задачі, кросворди до окремих тем з математики, окремі факти в рубриці «Цікаво знати» та гра...

Методичні вказівки до виконання самостійної роботи №1 з курсу "Математика...

Реферат Пояснювальна записка до наукової роботи: 22 сторінки, 2 рисунки, 2 таблиці
Подано короткий порівняльний аналіз розглянутих засобів й методів діагностики, визначено позитивні якості й недоліки кожного. Наведено...

Математичний квк для 6 класу «Математичний калейдоскоп» Вступне слово ведучих
Ми дуже раді вітати вас на нашому конкурсі веселих І кмітливих. Сьогодні ви будете свідками найцікавішої боротьби юних, веселих І...

Методичні рекомендації щодо ущільнення вивчення навчального матеріалу...
«Методичні рекомендації щодо ущільнення вивчення навчального матеріалу з української мови та літератури в 11-х класах у 2011/2012...

Уроку Тема уроку
Предмет креслення, його зміст, мета та завдання вивчення в школі. Застосування графічних документів. Стислі відомості з історії розвитку....



База даних захищена авторським правом © 2017
звернутися до адміністрації

geo.lekciya.com.ua
Головна сторінка