Пошук по сайту


Методичні вказівки до виконання самостійної роботи №1 з курсу "Математика для економістів" підготовлено на допомогу студентам у вивченні теоретичного матеріалу І його застосуванні для розв’язування задач із таких розділів курсу

Методичні вказівки до виконання самостійної роботи №1 з курсу "Математика для економістів" підготовлено на допомогу студентам у вивченні теоретичного матеріалу І його застосуванні для розв’язування задач із таких розділів курсу

Загальні вказівки
Методичні вказівки до виконання самостійної роботи № 1 з курсу "Математика для економістів" підготовлено на допомогу студентам у вивченні теоретичного матеріалу і його застосуванні для розв’язування задач із таких розділів курсу:

  • елементи лінійної алгебри;

  • жорданові виключення;

  • векторна алгебра і аналітична геометрія;

  • вступ до математичного аналізу

Кожна тема розділів супроводжується розв’язуванням типових прикладів, що дає можливість студентам краще засвоїти відповідний тематичний матеріал і набути навичок для самостійного виконання роботи.

Після опрацювання відповідного теоретичного матеріалу сту­дентам необхідно розв’язати задачі зі збірника "Завдання з курсу "Математика для економістів" для самостійної роботи".

§1. Елементи лінійної алгебри
1. Метод Гаусcа або метод послідовного виключення невідомих.
Система m лінійних рівнянь з n невідомими має вигляд:

(1.1)
де у загальному випадку m  n, x1, x2, ....., xnневідомі, які потрібно знайти, a11, a22, ....., amn – задані дійсні числа, які називають коефіцієнтами системи, b1, b2, …, bm – вільні члени.

Метод Гаусса можна застосовувати до будь-яких систем лінійних рівнянь. Даний метод полягає у послідовному виключенні невідомих x1, x2, ....., xn з системи рівнянь (1.1).

Якщо a11  0, то обидві частини першого рівняння помножимо на і віднімемо від обох частин другого рівняння, тим самим виключивши x1 з другого рівняння системи (1.1). Аналогічно обидві частини першого рівняння помножимо на і віднімемо від обох частин 3-го рівняння і т.д.

У результаті одержимо систему, еквівалентну початковій, в якій в усіх рівняннях (крім першого) відсутня невідома x1. Далі перше рівняння залишаємо без змін, а з інших рівнянь починаємо пос­лідовно виключати змінні x2, x3, ....., xn. При цьому рівняння, у яких всі коефіцієнти і вільні члени дорівнюють нулю, відкидаємо.

Зауваження. Якщо існує рівняння з нульовими коефіцієнтами, у якому вільний член не дорівнює нулю, то система (1.1) не має розв‘язків, тобто несумісна.

Процес виключення невідомих за описаним вище методом перетворить початкову систему лінійних рівнянь (1.1) у таку:
(1.2)
причому  0,  0,  0, ...,  0, а значить, kn.

У цьому випадку система (1.1) сумісна і для k=n вона визначена, а для kn – невизначена.

Дійсно, якщо k=n, то система (1.2) має вигляд:
(1.3)
І тоді, з останнього рівняння знаходимо значення невідомої xn, підстановкою якого в передостаннє рівняння знаходимо xn-1 і т.д.

Таким чином, знаходимо усі значення невідомих. Очевидно, що це єдиний розв’язок системи (1.1).
Приклади.

1. Знайти розв’язок системи лінійних рівнянь за допомогою методу Гаусса.

Розв’язування.

Випишемо розширену матрицю даної системи:



Виключимо x1 з другого та третього рівнянь. Для цього до­множимо перший рядок на (-2) і додамо до другого рядка. Потім домножимо перший рядок на (-3) і додамо до третього. Одержимо матрицю:



Тепер виключимо x2 з третього рівняння. Домножимо другий рядок на (8), а третій на (-3) і додамо. Одержимо:



Остання матриця еквівалентна розширеній матриці почат­кової системи:



Тепер з останнього рівняння знаходимо: -8x3=16  x3=-2. Знайдене значення х3 підставимо у друге рівняння: -6x2-(-2)=-4  -6x2=-6  x2=1. З першого рівняння знаходимо x1, підставивши знайдені значення x2 і x3: x1+51-(-2)=3  x1+7=3  x1=-4. Система сумісна і визначена.

Відповідь: x1=-4, x2=1, x3=-2.
2. Знайти розв’язок системи лінійних рівнянь за допомогою методу Гаусса.


Розв’язування.

Випишемо розширену матрицю системи:



Помножимо перший рядок на (3), а другий на (-2) і додамо. Потім перший рядок помножимо на (5), а третій на (-2) і додамо. Одержимо еквівалентну матрицю:

Виключимо з третього рівняння x2. Для цього від другого рівняння віднімемо третє. Маємо:

З останнього рядка маємо 0=2. Отже, система несумісна.
3. Знайти розв’язок системи лінійних рівнянь за допомогою методу Гаусса.



Розв’язування.

Виписуємо розширену матрицю системи:

Поміняємо місцями перший та другий її рядки. Далі, здійс­нивши послідовні виключення невідомих, одержимо:



.

Кількість рядків одержаної системи менша ніж кількість неві­домих. Звідси, система сумісна і невизначена. Надамо вільній змінній x3 довільного значення R і після цього знаходимо невідомі робимо x2 та x1:

x3= -8x2+11=1  -8x2=1-11 
Знайдені x1 і x2 підставляємо в перше рівняння:

 

Відповідь: , , x3=R. Система сумісна і невизначена.
2. Визначники. Правило Крамера розв’язування систем лінійних рівнянь.

Формули для знаходження визначників 2-го і 3-го порядків:

,



Визначники вищих порядків можна знайти методом пониження порядку визначника, або приведенням визначника до трикутного вигляду.
Метод Крамера.

Розглянемо систему n лінійних рівнянь з n невідомими:

(2.1)
Система (2.1) має єдиний розв’язок, коли визначник матриці з коефіцієнтів цієї системи не дорівнює нулю, тобто



Розв’язком системи (2.1) буде сукупність значень невідомих:

...

, де

Даний визначник отримано шляхом заміни j-го стовпця визначника d стовпцем вільних членів b1, b2, ... , bn.
Зауваження. Якщо визначник d=0, то систему (2.1) розв’я­зу­ємо методом Гаусса (див. §1).
Приклад. Розв’язати систему лінійних рівнянь за допомогою формул Крамера:



Розв’язування.

Обчислимо визначник основної матриці системи:



Послідовно замінивши у визначнику d перший, другий і третій стовпці стовпцем вільних членів, одержимо:

, ,

.

За формулами Крамера маємо:



Відповідь: x1=5, x2=-2, x3=3,
3. Обернена матриця.
Розв’язування системи лінійних рівнянь за допомогою оберненої матриці.

Систему n лінійних рівнянь з n невідомими (2.1) можна подати у матричному вигляді:

A·X=B (3.1.)

де
Матрицю A-1 називають оберненою до матриці A, якщо

A-1·A=A·A-1=E,

де E – одинична матриця.

Зауваження. Матриця A має обернену матрицю A-1 лише тоді, коли її визначник не дорівнює нулю, тобто d=A0.

Формула для знаходження оберненої матриці:

де Aij – алгебраїчні доповнення елементів aij.
Aij = .
Розв’яжемо матричне рівняння (3.1):

X= A-1·B, (якщо d=A0).

Приклад. Знайти розв'язок системи за допомогою оберненої матриці:



Розв’язування.

Маємо:



Знайдемо обернену матрицю:









Тоді маємо:



Звідси


Відповідь: x1= 4, x2=1, x3= 2.
4. Жорданові виключення.
Нехай маємо систему лінійних функцій

(4.1)

де та – відповідно незалежні і залежні змінні.

Кроком жорданового виключення називають операцію вик­лю­чення незалежної змінної (необхідно, щоб ) із -го рівняння системи (4.1) та підстановки її у всі інші рівняння цієї системи.

Для здійснення кроку жорданових виключень систему функцій (4.1) записують у вигляді жорданової (табл. 1):

  • Таблиця 1



. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . . . . . . . . . . . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . . . . . . . . . . . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . . . . . . . . . .

Тоді кроком звичайних виключень (ЗЖВ), проведеним над таблицею 1 із розв’язувальним елементом , k-им розв’язу­вальним рядком та s-им розв’язувальним стовпцем буде таблиця, одержана згідно з наступним алгоритмом:
Алгоритм кроку ЗЖВ:


  1. у новій таблиці змінні та міняємо місцями, а решту запи­суємо без змін;

  2. на місті розв’язувального елемента в новій таблиці записуємо одиницю;

  3. у решти елементів розв’язувального рядка таблиці 1 змінюємо знаки і переносимо в нову таблицю;

  4. решту елементів розв’язувального стовпця таблиці 1 переносимо до нової таблиці без змін;

  5. всі інші елементи нової таблиці знаходимо згідно з правилом прямокутника: від добутку елементів, що знаходяться у вершинах головної діагоналі уявного прямокутника таблиці 1 (головною діагоналлю є діагональ, що містить розв’язувальний елемент), віднімаємо добуток елементів, що знаходяться у вершинах побічної діагоналі цього ж прямокутника, тобто:

;

  1. всі елементи нової таблиці ділимо на розв’язувальний елемент .

Результатом жорданового виключення є таблиця 2:

  1. Таблиця 2



. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . . . . . . . . . . . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .: . . . . . .1. . . . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . . . . . . . . . .
Застосування ЗЖВ для знаходження розв’язків системи лінійних рівнянь n n.
Нехай маємо неоднорідну систему лінійних рівнянь n n:
(4.2)
Із системою (4.2) пов’язана жорданова таблиця 3:
  1. Таблиця 3



. . . . . . 10 = . . . . . . 0 = . . . . . . . . .. . .. . .. . . . . .. . .. . .0 = . . . . . .

Припустимо, що лінійно незалежних рівнянь в системі (4.2) рівно . Тоді має місце теорема:

Теорема Стейниця. Здійснивши рівно m кроків ЗЖВ з розв’язувальними стовпцями, відмінними від стовпця вільних елементів, рівно m нулів можна "перекинути" на верхній рядок таблиці 3.

Коли знаходять тільки розв’язки системи (4.2) за допомогою ЗЖВ, стовпець з "перекинутим" нулем на верхній рядок таблиці викреслюють і його не враховують для здійснення наступного кроку ЗЖВ. Викреслюють також нульові рядки, що утворились в ході здійснення кроків ЗЖВ.

Для визначених систем за допомогою рівно n кроків ЗЖВ усі нулі можна перекинути "нагору" таблиці і остання таблиця, враховуючи викладене вище, буде містити тільки два стовпці – із невідомих та їх значень. Тоді виписуємо значення невідомих і розв’язок знайдено.

У випадку несумісних систем, під час здійснення кроків ЗЖВ завжди з’являється рядок, що характеризує нетотожне спів­відношення.

Для невизначених систем характерна поява у жордановій таблиці нульових рядків, які викреслюємо.

Розглянемо на прикладах усі випадки.
Приклад.

За допомогою ЗЖВ знайти розв’язки та обернену матрицю до основної матриці системи:



Розв’язування.

Жорданова таблиця системи має вигляд:
x1x2x31Із розв’язувальним елементом a22=10 виконуємо перший крок ЗЖВ.

O12-1-17O2-112-8O31-231

x1O2x31Далі,з елементом a11=10 робимо другий крок ЗЖВ.

Маємо:O11-11-1x211-28O3-1-27-15

O1O2x31Із розв’язувальним елементом a33=80 робимо третій крок ЗЖВ.

В результаті одержуємо:x111-11x212-39O3-1-3816

O1O2O31 x1 = -1

 x2 = 3

x3 = 2x17/85/8-1/81x25/87/8-3/83x31/83/81/82

З останньої таблиці виписуємо обернену матрицю.



§2. Модель Леонтьєва міжгалузевого балансу
Нехай кожна із галузей за деякий період часу випускає xi одиниць (i=1,2,…,n) валової продукції. Якщо покласти aik – норма­тивні витрати i-ої галузі на виробництво одиниці продукції k-ої галузі, то міжгалузеві зв’язки зі скінченим вектором попиту y= задаються математичним рівнянням:

X=AX+Y або (E-A)•X=Y, (2.1)

де E - одинична матриця.

A - матриця прямих витрат,

X - вектор валового продукту,

Y - вектор скінченного попиту.

Рівняння (2.1) називається статичним рівнянням Леонтьєва міжгалузевого балансу.

Розв’язавши матричне рівняння (2.1), одержимо:

X= (E-A)-1•Y,

B=(E-A)-1 - матриця повних сукупних витрат;

C=B-E - матриця повних внутрішніх витрат.

C/=C-A - матриця побічних витрат.
Приклад.

Для тригалузевої економічної системи задано матрицю коефі­цієнтів прямих витрат A і вектор товарної продукції Y. Знайти ва­ловий випуск продукції кожної галузі, коефіцієнти повних сукупних, повних внутрішніх, а також побічних витрат, якщо:


Розвязування:

Для даного випадку маємо систему рівнянь

, що відповідає (2.1)

або у вигляді (E-A)X=Y:

.

Для знаходження валової продукції та матриці повних витрат застосовуємо МЖВ.

Складаємо Жорданову таблицю:
-x1-x2-x31З розв’язувальним елементом

a11=0,70

виконуємо перший крок МЖВ.

Одержуємо:O10,70-0,110O200,6-0,215O3-0,1-0,10,810
O1-x2-x31З розв’язувальним елементом a22=0,60 робимо другий крок МЖВ, дістанемо:x11,4300,1414,3O200,6-0,215O3-0,14-0,10,7911,4

O1O2-x31З розв’язувальним елементом a33=0,750 робимо третій крок МЖВ, остаточно одержуємо:x11,400,114,3x201,70,325O3-0,1-0,20,7513,9

O1O2O31 x11,50,030,217x20,071,70,4431 (2.2) x30,20,21,319

Таким чином, із таблиці (2.2) визначаємо, що перша галузь повинна випустити x1=17 од.; друга – x2=31 од.; третя – x3=19 од. продукції.

Матриця повних витрат має вигляд:



матриця повних внутрішніх витрат



матриця побічних витрат:


§ 3. Векторна алгебра і аналітична геометрія
1. Вектори та дії над ними.
Вектором називається напрямлений відрізок. Якщо початок вектора знаходиться в точці A, а кінець - в точці B, то вектор позначається .

B

A

Відстань між точками A і B називають довжиною або модулем вектора і позначають . Вектори, що лежать на паралельних прямих, називають колінеарними. Вектори рівні, якщо вони колінеарні, мають рівні модулі і однакові напрями.

Якщо вибрана деяка прямокутна система координат OXYZ, то координатами вектора називають його проекції на вісі координат OX, OY, OZ. Їх позначають відповідно x, y, z і записують = {x; y; z}.

Координати вектора , початком якого є точка A(x1, y1, z1), а кінцем - точка B(x2, y2, z2), дорівнюють різниці відповідних координат його кінця і початку, тобто:

x=x2-x1, y=y2-y1, z1=z2-z1.

Модуль вектора визначають за формулою:

.
Скалярним добутком векторів = (x1, y1, z1) і = (x2, y2, z2) називають число, що дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними:

= ,

або

= x1x2+ y1y2+ z1z2.
Якщо вектори і перпендикулярні, то

x1x2+ y1y2+ z1z2=0.

Косинус кута між векторами і можна знайти за формулою:

(3.1)

Векторним добутком векторів і є вектор :

( 3.2)

і

Вектор перпендикулярний кожному із векторів і . Векторний добуток колінеарних векторів дорівнює нулю.

Модуль векторного добутку двох векторів дорівнює площі паралелограма, побудованого на цих векторах, як на сторонах.

Нехай задано три вектори: = (x1, y1, z1), = (x2, y2, z2)
і = (x3, y3, z3).

Мішаним добутком векторів , і називають число, яке дорівнює:

(3.3)

Об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах , і , знаходиться за формулою:


2. Аналітична геометрія на площині.
Якщо на площині задано дві точки A(x1,y1) і B(x2,y2), то відстань між ними:



Нехай точка M(x,y) знаходиться на відрізку AB, причому =AM:MB - відношення, в якому точка M поділяє відрізок AB. Тоді координати точки M знаходимо за формулами:

, .

Якщо точка M є серединою відрізка AB, тобто AM=MB і =1, то

, .

У декартовій прямокутній системі координат OXY на площині загальне рівняння будь-якої прямої має вигляд

AX+BY+C=0,

де A,B,C – дійсні числа, причому A2+B20. Вектор , що перпендикулярний до даної прямої, називають нормальним вектором прямої.

Рівняння прямої, що проходить через задану точку M(x0,y0) перпендикулярно до вектора , має вигляд:

A(x-x0)+B(y-y0)=0.

Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки M1(x1,y1) і M2(x2,y2), є таким:

.

Рівняння прямої із заданим кутовим коефіцієнтом k:

y = kx + b.

Кут  між двома прямими знаходять за формулою:

,

де k1, k2 - кутові коефіцієнти цих прямих.

Якщо маємо дві прямі, що задані загальними рівняннями: A1x+B1y+C1=0 і A2x+B2y+C2=0, то косинус кута між ними знаходиться таким чином:

(3.4)
Дві прямі перпендикулярні, якщо k1k2=-1, або і паралельні, якщо k1=k2 або .

Відстань від точки A(x0,y0) до прямої Ax+By+C=0 знаходиться за формулою:

(3.5)
§ 4. Аналітична геометрія у просторі
1. Площина у просторі.
Загальне рівняння площини в декартовій прямокутній системі координат має вигляд:

Ax+By+Cz+D=0.

Вектор є перпендикулярним до даної площини і називається вектором нормалі.

Якщо площина проходить через задану точку M(x0,y0,z0) і перпендикулярна до вектора ,то її рівняння записується таким чином: A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 (4.1)

Якщо площина проходить через три задані точки M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2) і M3(x3,y3,z3), що не лежать на одній прямій, то її рівняння:

(4.2)

Якщо задано дві площини A1x+B1y+C1z+D1=0 і A2x+B2y+C2z+D2=0, то косинус кута між ними обчислюється за формулою:

(4.3)

Умова перпендикулярності двох площин:

.

Умова паралельності площин



Відстань від точки M(x0,y0,z0) до площини Ax+By+Cz+D=0 визначається за формулою:

(4.4)

2. Пряма у просторі.
Рівняння прямої у просторі, що проходить через точку M(x0,y0,z0) паралельно до вектору , має вигляд:

.

Його називають канонічним рівнянням прямої.

Якщо у просторі задано дві точки M1(x1,y1,z1) і M2(x2,y2,z2) , то рівняння прямої, що проходить через ці дві точки, є таким:

(4.5)

Кут між двома прямими і знаходять за формулою:

(4.6)

Якщо дві прямі перпендикулярні, то , а якщо паралельні, то

Кут між прямою і площиною Ax+By+Cz+D=0 знаходять за формулою:

(4.7)
Приклад 1.

Дано вершини A(4;3), B(-3;-3), C(2;7).

Знайти:

а) рівняння і довжину сторони BC;

б) рівняння і довжину висоти, проведеної з вершини A;

в) рівняння медіани, проведеної через вершину A;

г) кут між медіаною та висотою, проведеними з вершини A;

д) відстань від вершини C до прямої AB.
Розв’язування:

а) Рівняння сторони ВС знайдемо за формулою: Маємо:

 2x+6=y+3 

2x-y+3=0 – шукане рівняння сторони BC.
Довжину даної сторони знайдемо за формулою тоді

.
б) Рівняння сторони BC з кутовим коефіцієнтом має вигляд y=2x+3. Отже, кутовий коефіцієнт даної прямої k=2. Оскільки висота AH перпендикулярна основі BC, то за умови перпендикулярності kk1=-1 маємо , де k1 – кутовий коефіцієнт прямої AH.

Запишемо загальне рівняння прямої АН, що має кутовий коефіцієнт k1 і проходить через точку A(x0,y0):    2y-6=-x+4  x+2y-10=0 – шукане рівняння висоти AH.

Довжину висоти AH знаходимо як відстань від точки A до прямої BC за формулою (3.5):

.
в) Нехай точка M - основа медіани, опущеної з вершини A. За формулами середини відрізка знайдемо координати точки M:

;

Тепер складаємо рівняння медіани, що проходить через точки A і M:

г) Кути між прямими AM i AH знаходимо за формулою:

д) Знаходимо відстань d від вершини C до прямої AB.

Рівняння прямої AB: Тоді


Приклад 2.

Дано чотири точки у просторі A1(4;7;8), A2(-1;13;0), A3(2;4;9), A4(1;8;9).

Знайти:

а) кут між прямими A1A2 i A3A4;

б) площу трикутника A1A2A3;

в) рівняння площини, яка проходить через точки A1A2A3;

г) віддаль від точки A4 до площини A1A2A3;

д) кут між площиною A1A2A3 і прямою A3A4.
Розв’язування:

а) Використовуючи формулу (4.5), запишемо рівняння прямих A1A2 i A3A4:

За формулою (4.5) знаходження кута між прямими маємо:

б) площу грані A1A2A3 знайдемо, користуючись формулою:

Позначимо вектори =(-5;6;-8) і =(-2;-3;1). За формулою (3.2) маємо:





.

(кв.од.).

в) Використавши формулу (4.2), маємо рівняння площини A1A2A3:



г) Віддаль від точки A4 до площини A1A2A3 шукаємо за фор­мулою (4.4). Маємо:



д) Кут між прямою A3A4 і площиною A1A2A3 знаходимо за формулою (4.7):





§ 5. Вступ до математичного аналізу
1. Функція. Границі послідовності та функції.
Залежність змінної y від змінної x називають функцією, якщо кожному значенню x відповідає єдине значення y. Функцію позначають f(х), F(х), або за допомогою рівності y=f(x).

Множину значень x, для яких функція існує, називають областю визначення цієї функції.

Число a називають границею послідовності x1, x2, ....., xn,…, якщо для будь-якого додатного числа існує таке натуральне число N=N(), що для всіх n>N виконується нерівність xn-a<.

Символічно це записують так: або .

Число A називають границею функції y=f(x) у точці x0, якщо для будь-якого числа >0 існує таке число (), що для всіх xx0 і таких, що x-x0<, виконується нерівність f(x)-A<.

Позначають: або .

Якщо , то це означає, що f(x)< для x-x0<, де  довільне, як завгодно велике число.
Основні теореми про границі.
Якщо існують границі і , то справедливі такі рівності:

;

;

;

Дані твердження вірні і при x0=.

Крім того, важливу роль відіграють такі границі (та їх наслідки):

1. Перша важлива границя:

Наслідки:

а)

б)

в)

2. Друга важлива границя:

Наслідки:

а)

б)

Якщо при обчисленні границь виникають невизначеності виду та інші, то від них звільняються за допомогою алгебраїчних перетворень або використовують важливі границі.
Приклади.

1.

Для того, щоб знайти границі відношення двох многочленів відносно x, коли x, треба чисельник і знаменник відношення розділити на xk, де k – найвищий степінь многочленів.

Розділимо чисельник і знаменник дробу на x3:

= = =2.
2.

Щоб звільнитися від невизначеності даного типу, зведемо дроби до спільного знаменника. Маємо:



Щоб розкрити невизначеність типу , розкладемо чисель­ник і знаменник на множники і скоротимо дріб на множник (x-2):



3.

Використаємо першу важливу границю. Маємо:


4.

Використаємо другу важливу границю. Маємо:



Границя виразу, який подано у квадратних дужках, дорівнює числу e.

Оскільки функція ex є неперервною, можна перейти до границі під знаком функції. В результаті одержимо:




Похідна функції однієї змінної.
Похідною функції y=f(x) у точці x називають границю відно­шення приросту y функції до приросту x аргументу за умови, що приріст x аргументу прямує до нуля, тобто:



Цю границю позначають одним із символів: f’(x), y’(x), .

Знаходження похідної називають диференціюванням функції.

Основні правила диференціювання.

(u, v -диференційовані функції)

  1. (cu)’=cu’, де c=const;

  2. (uv)’=u’+v’;

  3. (uv)’=u’v+v’u;




Таблиця похідних основних елементарних функцій:




Похідна складної функції.
Якщо y=f(u), а u=g(x), то y називають функцією від функції, або складною функцію від x.

Тоді похідна такої функції обчислюється так:

, або y’=f’(u)u’.
Похідна неявної функції.
Якщо залежність між змінними x i y задано у неявному вигляді F(x,y)=0, то для знаходження похідної y’ потрібно обчислити похідну по x від лівої та правої частин цього рівняння, врахувавши, що y є функцією від x, а потім визначити з одержаної рівності y’, тобто



Похідною другого порядку функції y=f(x) називають похідну від першої похідної, тобто (y’)’=y’’.
Еластичність функції.

Еластичність виражає зміну однієї змінної величини по відношенню до зміни іншої змінної. Якщо y=f(x), то еластичність .
Приклади.

1) Знайти похідну та еластичність функції



Використавши правило диференціювання (п.3), правила зна­ходження похідної від складної функції, а також таблицю похідних, маємо:






2) Знайти похідну та еластичність функції x3+y3-3xy=0.

Це неявна функція, тому диференціюємо обидві частини рівняння, вважаючи y функцією від x:

3x2+3y2y’-3y-3xy’=0;

3y2y’-3xy’=3y-3x2;

y’(3y2-3x)=3y-3x2;

Еластичність знайти неможливо.
3) Знайти похідну та еластичність функції

Прологарифмуємо дану рівність, а потім візьмемо похідну від обох її частин:







Еластичність:
4) Знайти y’, якщо

Так як тому
Список рекомендованої літератури
1. Елементи лінійної алгебри: навч. посібник / В.С.Мартиненко, С.В.Білоусова, В.О.Борисейко, Т.В.Ковальчук, В.В.Левчук. – К.: Київ. держ. торг. екон. ун-т, 1999.

2. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1975.

3. Гершгорн А.С. Математическое программирование и его применение в экономических расчетах. – М.: Экономика, 1980.

4. Высшая математика для экономистов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман. – М.: Банки и биржи: ЮНИТИ, 1997.

5. Збірник задач з вищої математики / В.С. Мартиненко, С.В. Білоусова, В.О. Борисейко, В.І. Денисенко, Ю.Ф. Діденко, Я.Ф. Калюта, Т.В.Ковальчук, В.В. Левчук, Л.М. Яницька.– К.: Київ. держ. торг. екон. ун-т, 2000.

6. Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математи-ки для экономических вузов. Ч. І, ІІ. – М.: Высш. шк., 1982.

7. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1,2. – М.: Высш. шк., 1986.

8. Дубовик В.О., Юрик І.І. Вища математика. - К: Вища шк., 1993.

9. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по матема­ти­ческому анализу. – М.: Высш. шк., 1961. - 1964.

10. Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике.
Ч. 1-4. – Х.: Изд-во ХГУ, 1962. – 1974.

11. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. – М.: Наука, 1964. – 1978.

12. Справочник по математике для экономистов / В.Е. Барбаумов, В.И. Ермаков, Н.Н. Кривенцова и др.; Под ред. В.И. Ермакова. - М.: Высш. шк., 1987.



поділитися в соціальних мережах



Схожі:

Системи автоматизованого проектування навчально-Методичні матеріали
Навчально-методичні матеріали з дисципліни «Системи автоматизованого проектування» для студентів напрямку «Інформаційна безпека»...

Рекомендації щодо використання програмового матеріалу з курсу математики...

Уроку: Суміжні кути. Розв’язування задач
На уроці геометрії у 7 класі. Відпрацювання навичок розв’язування задач за малюнками. Вчителька застосовує авторську навчальну програму...

Уроки для 9 класів урок №18 Тема. Правильні многокутники Мета уроку:...
...

П/п Зміст навчального матеріалу
Повторення І систематизація навчального матеріалу з курсу алгебри 7 класу (10годин)

Методичні вказівки до самостійного вивчення теми застосування визначеного...
Методичні вказівки для самостійного вивчення теми «Застосування визначеного інтеграла Римана» за курсом «Математичний аналіз» для...

Уроку: Теорема Фалеса 13
Використання мультимедійного матеріалу та інтерактивних форм роботи при вивченні геометрії у 8 класі

Розв’язування нестандартних задач
Мета: Шляхом застосування різноманіття властивостей, означень, тверджень, теорем формувати в учнів уміння відшукання способів розв’язання...

Питання до іспиту з курсу “вища математика”
Приєднана матриця. Обернена матриця. Теорема про існування оберненої матриці. Формула для обчислення. Властивості

Задачі І вправи для самостійної роботи вища математика т елементи...
Для виробництва промислової продукції створено 3 фірми, кожна з яких випускає один вид продукції. В таблиці задані



База даних захищена авторським правом © 2017
звернутися до адміністрації

geo.lekciya.com.ua
Головна сторінка